Question

12．某幾何體三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，外接球的體積為$\frac{28\sqrt{21}}{27}$π．

Answer 1

分析 首先由幾何體的三視圖還原幾何體，然后求體積．其外接球，與以俯視圖為底面，以4為高的直三棱柱的外接球相同，進而可得該幾何體外接球的體積．

解答 解：由已知三視圖得該幾何體是以底面邊長為2的正方形，高為$\sqrt{3}$的四棱錐，
所以其體積為$\frac{1}{3}×{2}^{2}×\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
其外接球，與以俯視圖為底面，以2為高的直三棱柱的外接球相同，
如圖所示：

由題意可得底面外接圓的半徑為：r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
由棱柱高為2，可得球心距為1，
故外接球半徑為：R=$\sqrt{\frac{4}{3}+1}$=$\sqrt{\frac{7}{3}}$，
故外接球的體積V=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{28\sqrt{21}}{27}$π．
故答案為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；$\frac{28\sqrt{21}}{27}$π．

點評 本題考查的知識要點：三視圖和立體圖之間的轉換，幾何體的體積公式的應用，主要考查學生的空間想象能力和應用能力．