Question

15．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+lnx，其中a∈R．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若a＜-1，f（x）在（0，1]上的最大值為-1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=ax+$\frac{1}{x}$=$\frac{a{x}^{2}+1}{x}$，（x＞0）．對a分類討論：當a≥0時，f′（x）＞0，即可得出f（x）在（0，+∞）上單調遞增．當a＜0時，f′（x）=$\frac{a（x+\sqrt{\frac{-1}{a}}）（x-\sqrt{\frac{-1}{a}}）}{x}$，進而得出單調性．
（2）a＜-1時，$\sqrt{\frac{-1}{a}}$∈（0，1）．由（1）可得：函數f（x）在（0，$\sqrt{\frac{-1}{a}}$）上單調遞增，在（$\sqrt{\frac{-1}{a}}$，1]上單調遞減，可得當x=$\sqrt{\frac{-1}{a}}$時，函數f（x）取得極大值即最大值，利用$f（\sqrt{\frac{-1}{a}}）$=-1，解出即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=ax+$\frac{1}{x}$=$\frac{a{x}^{2}+1}{x}$，（x＞0）．
當a≥0時，f′（x）＞0，此時函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當a＜0時，f′（x）=$\frac{a（x+\sqrt{\frac{-1}{a}}）（x-\sqrt{\frac{-1}{a}}）}{x}$，
則函數f（x）在（$\sqrt{\frac{-1}{a}}$，+∞）上單調遞減，在（0，$\sqrt{\frac{-1}{a}}$）上單調遞增．
綜上可得：當a≥0時，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
當a＜0時，函數f（x）在（$\sqrt{\frac{-1}{a}}$，+∞）上單調遞減，在（0，$\sqrt{\frac{-1}{a}}$）上單調遞增．
（2）a＜-1時，$\sqrt{\frac{-1}{a}}$∈（0，1）．
由（1）可得：函數f（x）在（0，$\sqrt{\frac{-1}{a}}$）上單調遞增，在（$\sqrt{\frac{-1}{a}}$，1]上單調遞減，
∴當x=$\sqrt{\frac{-1}{a}}$時，函數f（x）取得極大值即最大值，∴$f（\sqrt{\frac{-1}{a}}）$=$\frac{1}{2}a×（-\frac{1}{a}）$+ln$\sqrt{\frac{-1}{a}}$=-1，
∴ln$\sqrt{\frac{-1}{a}}$=-$\frac{1}{2}$，解得a=-e．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、方程與不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．