Question

6．已知函數g（x）滿足g（x）=g（$\frac{1}{x}$），當x∈[$\frac{1}{3}$，1]時，g（x）=-3lnx．若函數f（x）=g（x）-mx在區間[$\frac{1}{3}$，3]上有三個不同的零點，則實數m的取值范圍是（　　），則實數m的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$）
• B． [ln3，$\frac{3}{e}$）
• C． [ln3，$\frac{1}{e}$）
• D． （0，$\frac{1}{e}$）

Answer 1

分析 化簡可得f（x）=|lnx|，從而作函數f（x）=|lnx|與函數y=ax的圖象，從而利用導數及數形結合的思想求解．

解答 解：∵當x∈[$\frac{1}{3}$，1]時，g（x）=-3lnx．
當$\frac{1}{x}$∈[$\frac{1}{3}$，1]時，x∈[1，3]，
∴g（x）=-3ln$\frac{1}{x}$=3lnx
∴g（x）=3|lnx|，x∈[$\frac{1}{3}$，3]，
作函數g（x）=3|lnx|與函數y=mx的圖象如下
設直線l與f（x）=3|lnx|相切，
如圖，設切點為（x，3lnx），
$\frac{3lnx}{x}$=$\frac{3}{x}$
則由導數的幾何意義可得，x=e，
k=$\frac{3}{e}$，直線y=$\frac{3}{e}$x有2個交點，
當直線y=mx過點（3，3ln3）時有三個交點，
即直線的斜率為ln3，
∴實數m的取值范圍：[ln3，$\frac{3}{e}$），
故選：B．

點評 本題考查了導數的幾何意義的應用及數形結合的思想應用．構造函數利用圖象的交點問題求解．