Question

16．在橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1內，通過點M（1，1）且被這點平分的弦所在的直線方程為9x+16y-25=0．

Answer 1

分析 由點M（1，1）為中點的弦兩端點為P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），中點坐標公式可知：x₁+x₂=2，y₁+y₂=2．由$\frac{{x}_{1}^{2}}{16}+\frac{{y}_{1}^{2}}{9}=1$①，$\frac{{x}_{2}^{2}}{16}+\frac{{y}_{2}^{2}}{9}=1$②，①-②得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{16}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$=0，由對稱性知x₁≠x₂，則k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{9}{16}$，由直線的點斜式方程，y-1=-$\frac{9}{16}$（x-1），即可求得直線方程．

解答 解：設以點M（1，1）為中點的弦兩端點為P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
則x₁+x₂=2，y₁+y₂=2．
又$\frac{{x}_{1}^{2}}{16}+\frac{{y}_{1}^{2}}{9}=1$①，$\frac{{x}_{2}^{2}}{16}+\frac{{y}_{2}^{2}}{9}=1$②
①-②得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{16}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$=0
又據對稱性知x₁≠x₂，
∴以點M（1，1）為中點的弦所在直線的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{9}{16}$，
∴中點弦所在直線方程為y-1=-$\frac{9}{16}$（x-1），即9x+16y-25=0．
故答案為：9x+16y-25=0．

點評 本題主要考查了直線與橢圓相交關系的應用，要掌握這種設而不求的方法在求解直線方程中的應用，考查計算能力，屬于中檔題．