Question

11．記S_k=1^k+2^k+3^k+…+n^k，當k=1，2，3…時，觀察下列等式：
S₁=$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{2}n$，S₂=$\frac{1}{3}{n}^{3}+\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{6}n$，S₃=$\frac{1}{4}{n}^{4}+\frac{1}{2}{n}^{3}+\frac{1}{4}{n}^{2}$，
S${\;}_{4}=\frac{1}{5}{n}^{5}+\frac{1}{2}{n}^{4}+\frac{1}{3}{n}^{3}-\frac{1}{30}n$，S₅=$\frac{1}{6}{n}^{6}+A{n}^{5}+B{n}^{4}-\frac{1}{12}{n}^{2}$，…，
可以推測A-B=$\frac{1}{12}$．

Answer 1

分析 通過觀察歸納出：各等式右邊各項的系數和為1；列出方程求出A，B的值，進一步得到A-B．

解答 解：根據所給的已知等式得到：各等式右邊各項的系數和為1；第二項為$\frac{1}{2}$；
所以A=$\frac{1}{2}$，B=1-$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{12}$=$\frac{5}{12}$
所以A-B=$\frac{1}{12}$．
故答案為$\frac{1}{12}$．

點評 本題考查通過觀察、歸納猜想結論，并據猜想的結論解決問題，屬于基礎題．