Question

20．已知定義在R上的可導函數f（x）圖象既關于直線x=1對稱，又關于直線x=5對稱，且當x∈[1，5]時，有f′（x）＞3f（x），則下列各式成立的是（　　）

• A． e³f（-14）＜f（-5），e³f（-10）＜f（-19）
• B． e³f（-14）＞f（-5），e³f（-10）＞f（-19）
• C． e³f（-14）＜f（-5），e³f（-10）＞f（-19）
• D． e³f（-14）＞f（-4），e³f（-10）＜f（-19）

Answer 1

分析 造函數g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{3x}}$，根據導數判斷函數g（x）在[1，5]上單調遞增，根據函數的對稱性和函數的單調性得到g（5）＞g（4）＞g（3）＞g（3），化簡即可得到．

解答 解：構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{3x}}$，
則g′（x）=$\frac{f′（x）-3f（x）}{{e}^{3x}}$，
∵當x∈[1，5]時，有f′（x）＞3f（x），
∴g′（x）＞0，在x∈[1，5]上恒成立，
∴g（x）在[1，5]上單調遞增，
∵f（x）圖象既關于直線x=1對稱，又關于直線x=5對稱，
∴f（x）=f（x+2），f（x）=f（x+10），
∴f（-14）=f（-14+20）=f（6）=f（6-2）=f（4），f（-5）=f（-5+10）=f（5），
f（-10）=f（-10+10）=f（0+2）=f（2），
f（-4）=f（-4+10）=f（6）=f（6-2）=f（4），
f（-19）=f（-19+10）=f（-9）=f（-9+2）=f（-7）=f（-7+10）=f（3），
∴g（5）＞g（4）＞g（3）＞g（3），
∴$\frac{f（5）}{{e}^{15}}$＞$\frac{f（4）}{{e}^{12}}$＞$\frac{f（3）}{{e}^{9}}$＞$\frac{f（2）}{{e}^{6}}$，
∴$\frac{f（-5）}{{e}^{15}}$＞$\frac{f（-14）}{{e}^{12}}$=$\frac{f（-4）}{{e}^{12}}$＞$\frac{f（-19）}{{e}^{9}}$＞$\frac{f（-10）}{{e}^{6}}$，
∴e³f（-10）＜f（-19），e³f（-14）＜f（-5），
故選：A．

點評 本題考查了函數的單調性和函數的對稱性以及導數和函數的單調性的關系，關鍵是構造函數，屬于難題．