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9.已知實數m,n滿足2m-n=3.
(1)若|m|+|n+3|≥9,求實數m的取值范圍;
(2)求$|{\frac{5}{3}m-\frac{1}{3}n}|+|{\frac{1}{3}m-\frac{2}{3}n}$|的最小值.

分析 (1)由條件利用絕對值三角不等式可得|m|≥3,由此求得實數m的取值范圍.
(2)由條件利用絕對值三角不等式求得$|{\frac{5}{3}m-\frac{1}{3}n}|+|{\frac{1}{3}m-\frac{2}{3}n}$|的最小值.

解答 解:因為2m-n=3,所以2m=n+3.
(1)|m|+|n+3|=|m|+|2m|=3|m|≥9,∴|m|≥3,∴m≤-3或m≥3.
(2)$|{\frac{5}{3}m-\frac{1}{3}n}|+|{\frac{1}{3}m-\frac{2}{3}n}|=|{\frac{5}{3}m-\frac{1}{3}(2m-3)}|+|{\frac{1}{3}m-\frac{2}{3}(2m-3)}|=|{m+1}|+|{m-2}|≥3$,
當且僅當-1≤m≤2(或-5≤n≤1)時等號成立,
所以$|{\frac{5}{3}m-\frac{1}{3}n}|+|{\frac{1}{3}m-\frac{2}{3}n}|$的最小值是3.

點評 本題主要考查絕對值三角不等式的應用,式子的變形是解決問題的關鍵,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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