Question

12．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右焦點F，短軸兩端點為B₁，B₂，且$\overrightarrow{F{B}_{1}}$•$\overrightarrow{F{B}_{2}}$=4．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點M（0，-1）作直線l交橢圓于A、B兩點，交x軸于N點，且滿足$\overrightarrow{NA}$=-$\frac{7}{5}$$\overrightarrow{NB}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設出右焦點和頂點的坐標，由離心率公式和平面向量數量積坐標表示，解方程可得a，b，c，進而得到橢圓方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，0），運用向量共線坐標表示，設直線l的方程為y=kx-1（k≠0），聯立方程x²+4y²=8，運用韋達定理和解方程，得到k的方程，即可得到所求直線方程，注意檢驗判別式大于0．

解答 解：（1）設橢圓的右焦點F （c，0）（c＞0），B₁（0，b），B₂（0，-b），
由$\overrightarrow{F{B}_{1}}$•$\overrightarrow{F{B}_{2}}$=4，即（-c，b）•（-c，-b）=c²-b²=4，…（3分）
又離心率$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²-b²=c²，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，…（5分）
故橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．…（6分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，0），
因為$\overrightarrow{NA}$=-$\frac{7}{5}$$\overrightarrow{NB}$，所以（x₁-x₀，y₁）=-$\frac{7}{5}$（x₂-x₀，y₂），y₁=-$\frac{7}{5}$y₂．①
易知當直線l的斜率不存在或斜率為0時，①不成立，…（8分）
于是設直線l的方程為y=kx-1（k≠0），聯立方程x²+4y²=8，
消去x得（4k²+1）y²+2y+1-8k²=0，②…（10分）
因為△＞0，所以直線與橢圓相交，于是y₁+y₂=-$\frac{2}{1+4{k}^{2}}$，③
y₁y₂=$\frac{1-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，④
由①③得，y₂=$\frac{5}{1+4{k}^{2}}$，y₁=-$\frac{7}{1+4{k}^{2}}$，
代入④整理得8k⁴+k²-9=0，k²=1，k=±1，
所以直線l的方程是y=x-1或y=-x-1．…（12分）

點評 本題考查橢圓方程和直線方程的求法，注意運用離心率公式和直線與橢圓方程聯立，運用韋達定理，考查化簡整理運算能力，屬于中檔題．