Question

7．已知函數f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x²+ax+b在x=3取得極值為4，則f（x）在區間[-2，1]上的最大值為（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． -$\frac{4}{3}$
• D． -$\frac{13}{3}$

Answer 1

分析 求出函數的導數，利用函數的極值求出a，b，然后判斷函數的單調性，求解函數在閉區間上的最值即可．

解答 解：f'（x）=-x²+2x+a，由題意知$\left\{\begin{array}{l}f'（3）=0\\ f（3）=4\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}-9+6+a=0\\-\frac{1}{3}×27+{3^2}+3a+b=4\end{array}\right.$，解答$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=-5\end{array}\right.$．
∴$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}+3x-5$，f'（x）=-x²+2x+3，
由f'（x）=-x²+2x+3=0得x=-1，x=3，
∴函數f（x）在區間[-2，-1]遞減，在區間[-1，1]遞增．
又$f（1）=-\frac{4}{3}$，$f（-1）=-\frac{13}{3}$，
所以 f（x）在區間[-2，1]上的最大值為$-\frac{4}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的單調性以及函數的極值的應用，考查轉化思想以及計算能力．