Question

19．在平面直角坐標系xoy中，已知拋物線C：y²=ax（a＞0）上一點M（x₀，4）到焦點F的距離|MF|=$\frac{5}{4}$x₀，直線l與拋物線C相交于不同的A，B兩點，如果$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）證明：直線l必過一定點，并求出該定點坐標．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線C：y²=ax（a＞0）上一點M（x₀，4）到焦點F的距離|MF|=$\frac{5}{4}$x₀，建立方程，即可求拋物線C的標準方程；
（2）設出直線的方程，同拋物線方程聯立，得到關于y的一元二次方程，根據根與系數的關系表示出數量積，根據數量積等于-4，做出數量積表示式中的b的值，即得到定點的坐標．

解答 （1）解：∵拋物線C：y²=ax（a＞0）上一點M（x₀，4）到焦點F的距離|MF|=$\frac{5}{4}$x₀，
∴x₀+$\frac{a}{4}$=$\frac{5}{4}$x₀，16=ax₀，∴a=4，
∴拋物線C的標準方程C：y²=4x；
（2）證明：設l：x=ty+b代入拋物線y²=4x，消去x得y²-4ty-4b=0設．
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁+b）（ty₂+b）+y₁y₂
=t²y₁y₂+bt（y₁+y₂）+b²+y₁y₂
=-4bt²+4bt²+b²-4b=b²-4b
令b²-4b=-4，∴b²-4b+4=0，∴b=2．
∴直線l過定點（2，0）．

點評 本題考查拋物線方程與性質，考查了直線與拋物線相交問題轉化為拋物線的方程聯立得到根與系數的關系、數量積運算、直線過定點問題等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．