Question

10．已知函數f（x）=ax³+bx²+cx+d為奇函數，且在x=-1處取得最大值2
（1）求f（x）的解析式；
（2）過點A（1，t）（t≠-2）可作函數f（x）圖象的三條切線，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數f（x）為奇函數，可得f（-x）+f（x）=0，可得b=d=0．由f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c，在x=-1處取得最大值2，則$\left\{\begin{array}{l}{{f}^{′}（-1）=3a+c=0}\\{-a-c=2}\end{array}\right.$，解得即可得出；
（2）設切點為（x₀，y₀），則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}={x}_{0}^{3}-3{x}_{0}}\\{\frac{{y}_{0}-t}{{x}_{0}-1}=3{x}_{0}^{2}-3}\end{array}\right.$，消去y可得，t=-2${x}_{0}^{3}$+3${x}_{0}^{2}$-3，令u（x）=-2x³+3x²-3，利用導數研究函數u（x）的單調性極值即可得出．

解答 解：（1）∵函數f（x）為奇函數，
∴f（-x）+f（x）=0，2bx²+d=0恒成立，可得b=d=0．
∴f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c，
∵在x=-1處取得最大值2，則$\left\{\begin{array}{l}{{f}^{′}（-1）=3a+c=0}\\{-a-c=2}\end{array}\right.$，
解得a=1，c=-3．
∴f（x）=x³-3x．
（2）設切點為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}={x}_{0}^{3}-3{x}_{0}}\\{\frac{{y}_{0}-t}{{x}_{0}-1}=3{x}_{0}^{2}-3}\end{array}\right.$，消去y可得，t=-2${x}_{0}^{3}$+3${x}_{0}^{2}$-3，
令u（x）=-2x³+3x²-3，u′（x）=-6x²+6x=-6x（x-1），
令u′（x）=0，解得x=0，1．
則函數u（x）在（-∞，0），（1，+∞）上單調遞減，在（0，1）上單調遞增．
u（0）=-3，u（1）=-2．
過點A（1，t）（t≠-2）可作函數f（x）圖象的三條切線，
則t的取值范圍是（-3，-2）．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值、切線方程，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．