Question

20．設f（x）與g（x）是定義在同一區間[a，b]上的兩個函數，若函數y=f（x）-g（x）在[a，b]上兩個不同的零點，則稱f（x）與g（x）的“關聯區間”，若f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}$-x與g（x）=2x+b的“關聯區間”是[-3，0]，則b的取值范圍是（　�。�

• A． [-9，0]
• B． $[0，\frac{5}{3}]$
• C． $[-9，\frac{5}{3}]$
• D． $[0，\frac{5}{3}）$

Answer 1

分析 求出函數y=f（x）-g（x）的表達式，利用導數求出函數的極值和單調性，根據關聯函數的定義建立不等式關系即可得到結論．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-x與g（x）=2x+b，
∴設y=m（x）=f（x）-g（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-x-2x-b=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x-b，
則m′（x）=x²-2x-3，
由m′（x）=x²-2x-3=0，解得m=-1或m=3，
∵f（x）與g（x）在[-3，0]上是“關聯函數”，
∴當x=-1是函數m（x）在[-3，0]上的極大值，同時也是最大值，
要使m（x）=f（x）-g（x）在[-3，0]上有兩個不同的零點，
則$\left\{\begin{array}{l}{m（0）≤0}\\{m（-1）＞0}\\{m（-3）≤0}\end{array}\right.$．即$\left\{\begin{array}{l}{-b≤0}\\{\frac{5}{3}-b＞0}\\{-9-b≤0}\end{array}\right.$，
解得0≤b＜$\frac{5}{3}$，
故b的取值范圍是[0，$\frac{5}{3}$），
故選：D．

點評 本題考查函數“關聯函數”的定義，導數的應用以及二次函數的性質，體現了轉化的數學思想，綜合性較強，設計的知識點較多．