Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=x³-4x-a，0＜a＜2．若f（x）的三個(gè)零點(diǎn)為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，則（　　）

• A． x₁＜-2
• B． x₂＞0
• C． x₃＜1
• D． x₃＞2

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，再根據(jù)f （x）的三個(gè)零點(diǎn)為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，求得各個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間，從而得出結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f （x）=x³-4x+a，0＜a＜2，∴f′（x）=3x²-4．
令f′（x）=0，可得 x=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∵當(dāng)x＜-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，f′（x）＞0；在（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）上，f′（x）＜0；
在（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）上，f′（x）＞0．
故函數(shù)在（-∞，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）上是增函數(shù)，在（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）上是減函數(shù)，在（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）上是增函數(shù)．
故f（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）是極大值，f（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）是極小值．
再由f（x）的三個(gè)零點(diǎn)為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，可得 x₁＜-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜x₂＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，x₃＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
根據(jù)f（0）=a＞0，且f（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）=a-$\frac{16\sqrt{3}}{9}$＜0，可得 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$＞x₂＞0，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的定義，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，屬于中檔題．