Question

15．已知函數f（x）=ax-lnx．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在（e，f（e））（e為自然對數的底）處的切線方程；
（2）當x∈（0，e]時，是否存在實數a，使得f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出a=1時f（x）的導數，可得切線的斜率和切點，運用點斜式方程，即可得到所求切線方程；
（2）假設存在實數a，使得f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]的最小值為3，對a討論：當a≤0時，當$0＜\frac{1}{a}＜e$，即$a＞\frac{1}{e}$時，當$\frac{1}{a}≥e$，即$0＜a≤\frac{1}{e}$時，求出單調區間，可得最小值，解方程即可得到所求a的值．

解答 解：（1）當a=1時，函數f（x）=x-lnx的導數為$f'（x）=1-\frac{1}{x}$，
所以切線斜率$k=f'（e）=\frac{e-1}{e}，f（e）=e-1$，
所以切線方程為$y-（e-1）=\frac{e-1}{e}（x-e）$，
即$y=\frac{e-1}{e}x$．
（2）假設存在實數a，使得f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]的最小值為3，
$f'（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}$，0＜x≤e，
①當a≤0時，因為x∈（0，e]，所以f'（x）＜0，
所以f（x）在（0，e]上單調遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=3得$a=\frac{4}{e}$（舍去）；
②當$0＜\frac{1}{a}＜e$，即$a＞\frac{1}{e}$時，f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$上單調遞減，在$（{\frac{1}{a}，e}]$上單調遞增，$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{a}）=1+lna=3$得a=e²滿足．
③當$\frac{1}{a}≥e$，即$0＜a≤\frac{1}{e}$時，因為x∈（0，e]，所以f'（x）≤0，
所以f（x）在（0，e]上單調遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=3，得$a=\frac{4}{e}$（舍去）．
綜上，存在實數a=e²滿足題意．

點評 本題考查導數的運用：求切線方程和單調區間、極值和最值，考查存在性問題的解法，同時考查分類討論思想方法，化簡整理運算能力，屬于中檔題．