Question

6．某大型商場成立十周年之際，為了回饋顧客，特進行有獎銷售：有獎銷售期間，每購買滿100元該商場的商品，都有一次抽獎機會，一旦中獎，將獲得一個精美獎品；抽獎方案有A、B兩種，可自主選擇，A方案是：從裝有3個紅色小球和7個白色小球的箱子里每次摸1個小球，不放回地摸3次，若至少摸到兩個紅球就中獎，否則無獎；B方案是：從裝有3個紅色小球和7個白色小球的箱子里每次摸1個小球，有放回地摸3次，若至少有兩次摸到紅球就中獎，否則無獎；其中箱子里的小球除顏色和編號外完全相同．
（Ⅰ）若某顧客用A方案抽獎一次，求他抽到的3個小球中紅球個數X的分布列和期望；
（Ⅱ）若甲、乙兩顧客分別用A、B方案各抽獎一次，它們中獎的概率是否相同？若你去抽獎，將選擇哪種方案？說明理由．

Answer 1

分析 （1）X可取0，1，2，3，且服從超幾何分布，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和期望EX．
（2）設甲、乙各抽獎一次，中獎的事件分別為C、D，分別求出P（C）和P（D），由此能求出結果．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）X可取0，1，2，3，且服從超幾何分布，
P（X=0）=$\frac{{C}_{7}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{24}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{7}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{21}{40}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{7}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{40}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$，…（4分）
∴X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{7}{24}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{1}{120}$

期望EX=$0×\frac{7}{24}+1×\frac{21}{40}+2×\frac{7}{40}+3×\frac{1}{120}$=$\frac{9}{10}$．…（6分）
（2）設甲、乙各抽獎一次，中獎的事件分別為C、D，則
由（1）知P（C）=$\frac{7}{40}$+$\frac{1}{120}$=$\frac{11}{60}$，…（8分）
乙按B方案抽，P（D）=${C}_{3}^{2}•0．{3}^{2}×0.7+{C}_{3}^{3}•0．{3}^{3}$=$\frac{27}{125}$．…（10分）
甲、乙中獎的概率不相同，
∵$\frac{27}{125}＞\frac{11}{60}$，∴P（D）＞P（C），
∴應選擇B方案抽獎．  …（12分）

點評 本題考查概率的求法及應用，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．