Question

20．如圖，正△ABC中，點D在邊AC上，E，G在邊AB上，且AB=3AG=6，AD=λAC，AE=（1-λ）AB，（0＜λ＜1），BD，CE相交于點F
（1）證明：A，E，F，D四點共圓；
（2）當點E是BG中點時，求線段FG的長度．

Answer 1

分析 （1）先證明△BCE≌△ABD，得到∠BEC=∠ADB，再利用對角互補四點共圓，即可證明；
（2）證明以AE為直徑的圓圓心為G，即可求線段FG的長度．

解答 （1）證明：∵AE=（1-λ）AB，∴BE=λAB．
∵AD=λAC，∴BE=AD，
又∠CBE=∠BAD，CB=BA，
∴△BCE≌△ABD，∴∠BEC=∠ADB，
∴∠ADB+∠AEC=180°，∴A，E，F，D四點共圓；                                                                   …（4分）
（2）解：連接DE，GF，

∵BE=AD=2，AE=4，A=60°，∴AD⊥DE，
∴以AE為直徑的圓圓心為G，∴$GF=\frac{1}{2}AE=2$…（6分）

點評 本題考查對角互補四點共圓，考查圓的直徑的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．