Question

9．把數列$\left\{{\frac{1}{{{n^2}+n}}}\right\}$依次按第一個括號一個數，第二個括號兩個數，第三個括號三個數，…，按此規律下去，即$（{\frac{1}{2}}），（{\frac{1}{6}，\frac{1}{12}}），（{\frac{1}{20}，\frac{1}{30}，\frac{1}{42}}）$，…，則第6個括號內各數字之和為$\frac{3}{176}$．

Answer 1

分析 利用裂項相消法，求出前面6個括號的數的總和，及前5個括號數的總和，相減可得答案．

解答 解：∵$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故數列{$\frac{1}{{n}^{2}+n}$}的前n項和S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
由于第一個括號一個數，第二個括號兩個數，第三個括號三個數，第四個括號四個數，…
故前6個括號的數共有1+2+3+4+5+6=21個，
前面6個括號的數的總和為：S₂₁=$\frac{21}{22}$，
故前5個括號的數共有1+2+3+4+5=15個，
前面5個括號的數的總和為：S₁₅=$\frac{15}{16}$，
故第6個括號內各數字之和為$\frac{21}{22}-\frac{15}{16}$=$\frac{3}{176}$，
故答案為$\frac{3}{176}$．

點評 本題考查的知識點是歸納推理，數列求和，其中分析出數列{$\frac{1}{{n}^{2}+n}$}的前n項和S_n=$\frac{3}{176}$是解答的關鍵．