Question

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PA⊥底面ABCD，點E，F分別為BC、PD的中點，若PA=AD=4，AB=2．
（1）求證：EF∥平面PAB．
（2）求直線EF與平面PCD所成的角．

Answer 1

分析 （1）以A為原點，分別以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，$\overrightarrow{EF}$=（-2，0，2），平面PAB的一個法向量是$\overrightarrow{AD}$=（0，4，0），證明$\overrightarrow{EF}⊥\overrightarrow{AD}$，即可證明EF∥平面PAB；
（2）求出平面PCD的一個法向量，即可求直線EF與平面PCD所成的角．

解答 （1）證明：依題意，以A為原點，分別以AB、AD、AP所在
直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系如圖，則A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，4），D（0，4，0）C（2，4，0），E（2，2，0），F（0，2，2）------------------（2分）
∴$\overrightarrow{EF}$=（-2，0，2），平面PAB的一個法向量是$\overrightarrow{AD}$=（0，4，0）------（4分）
∵$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{AD}$=0，
∴$\overrightarrow{EF}⊥\overrightarrow{AD}$，
故 EF∥平面PAB-----------------------------------------------（6分）
（2）∵$\overrightarrow{DC}$=（2，0，0），$\overrightarrow{DP}$=（0，-4，4）（7分）
設平面PCD的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）
則$\left\{\begin{array}{l}{2x=0}\\{-4y+4z=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=z\end{array}\right.$∴令z=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1）-----------------------------------（9分）
而$\overrightarrow{EF}$=（-2，0，2），
∴cos＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{m}$＞=$\frac{0+0+2}{\sqrt{4+4}•\sqrt{1+1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{m}$＞=60°----------------------------------（11分）
所以EF與平面PCD所成的角是90°-60°=30°----------------------------（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．