Question

4．歌德巴赫（Goldbach．C．德．1690-1764）曾研究過“所有形如$\frac{1}{{{{（n+1）}^{m+1}}}}$（m，n為正整數）的分數之和”問題．為了便于表述，引入記號：$\sum_{n=1}^∞{\sum_{m=1}^∞{\frac{1}{{{{（n+1）}^{m+1}}}}}}$=$（\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…）+（\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+…）+…+（\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}+\frac{1}{{{{（n+1）}^3}}}+\frac{1}{{{{（n+1）}^4}}}+…）+…$
寫出你對此問題的研究結論：$\sum_{n=1}^∞{\sum_{m=1}^∞{\frac{1}{{{{（n+1）}^{m+1}}}}=1}}$（用數學符號表示）．

Answer 1

分析 分別求出$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…，$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+$\frac{1}{{3}^{4}}$+…，$\frac{1}{{（n+）}^{2}}$+$\frac{1}{{（n+1）}^{3}}$+$\frac{1}{{（n+1）}^{4}}$+…的極限，再代入∑_n-1^φ∑_m-1^φ$\frac{1}{{（n+1）}^{m+1}}$中，通過裂項法求得答案．

解答 解：$\sum_{n=1}^∞{\sum_{m=1}^∞{\frac{1}{{{{（n+1）}^{m+1}}}}}}$=$（\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…）+（\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+…）+…+（\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}+\frac{1}{{{{（n+1）}^3}}}+\frac{1}{{{{（n+1）}^4}}}+…）+…$
=$\frac{\frac{1}{{2}^{2}}}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{\frac{1}{{3}^{2}}}{1-\frac{1}{3}}$+…+$\frac{\frac{1}{{（n+1）}^{2}}}{1-\frac{1}{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$×$\frac{1}{n+1}$
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=1-$\frac{1}{n+1}$，
當n→+∞時，$\sum_{n=1}^∞{\sum_{m=1}^∞{\frac{1}{{{{（n+1）}^{m+1}}}}}}$=1．
故答案為：$\sum_{n=1}^∞{\sum_{m=1}^∞{\frac{1}{{{{（n+1）}^{m+1}}}}}}$=1．

點評 本題主要考查了用裂項法求和的應用問題，是綜合性問題．