Question

5．已知函數$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+（{a-6}）x$，g（x）=-x²+lnx-1
（Ⅰ）若a=2，求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）對?x₁，x₂∈[1，+∞），都有f（x₁）＞g（x₂），求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導數列表判斷
（2）利用導數求解函數最大值，最小值，轉化為f（x）的最小值，g（x）的最大值比較即可，得出即$\frac{1}{3}{x^3}+（a-6）x＞-2a＞-\frac{1}{3}{x^2}-\frac{2}{x}+6$恒成立．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x{f^/}（x）={x^2}-4$
令f′（x）=0得x₁=-2x₂=2

x	（-∞，-2）	（-2，2）	（2，+∞）
f′（x）	+	-	+
f（x）	↑	↓	↑

∴f（x）的單調遞增區間為（-∞，-2）和（2，+∞），遞減區間為（-2，2）
（2）${g^/}（x）=-2x+\frac{1}{x}$若x∈[1，+∞）則g′（x）＜0
∴g（x）在[1，+∞）上單調遞減，g（x）的最大值為-2  
要使f（x₁）＞g（x₂）成立
即f（x）＞-2，x∈[1，+∞）恒成立     
即$\frac{1}{3}{x^3}+（a-6）x＞-2a＞-\frac{1}{3}{x^2}-\frac{2}{x}+6$恒成立
令$h（x）=-\frac{1}{3}{x^2}-\frac{2}{x}+6$求得它在[1，+∞）的最大值為$6-\root{3}{9}$
∴$a＞6-\root{3}{9}$

點評 本題綜合考查了運用導數解決函數單調性，的問題，關鍵判斷最值，得出恒成立的條件．