Question

6．已知函數f（x）=$\frac{1-m+lnx}{x}$，m∈R．
（1）當m=0時，若函數在區間（a，a+$\frac{1}{2}$）上存在極值（其中a＞0），求實數a的取值范圍；
（2）若不等式x（x+1）f（x）+m≥（k-m）x對x∈[1，+∞）恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數f（x）的定義域，當m=0時，求出f′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$．判斷導函數的符號，求解函數的極值，列出不等式，即可推出結果．
（2）當x≥1時，不等式x（x+1）f（x）+m≥（k-m）x恒成立，推出$\frac{x+11+lnx}{x}$≥k對x∈[1，+∞）恒成立，記g（x）=$\frac{x+11+lnx}{x}$，求出g′（x），利用導函數的符號，判斷單調性然后求解最值．推出k的值．

解答 解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），
當m=0時，f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，x＞0，∴f′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$．
當0＜x＜1時，f′（x）＞0；當x＞1時，f′（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上單調遞增；在（1，+∞）上單調遞減，
所以函數f（x）在x=1處取得極大值．
因為函數f（x）在區間（a，a+$\frac{1}{2}$）（其中a＞0）上存在極值，
所以$\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{a+\frac{1}{2}＞1}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$＜a＜1．（6分）
（2）當x≥1時，不等式x（x+1）f（x）+m≥（k-m）x恒成立，
即x（x+1）=$\frac{1-m+lnx}{x}$+m≥（k-m）x恒成立，∴$\frac{x+11+lnx}{x}$≥k對x∈[1，+∞）恒成立，
記g（x）=$\frac{x+11+lnx}{x}$，
所以g′（x）=$\frac{（x+11+lnx）′x-x+11+lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$．
令h（x）=x-ln x，則h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
∵x≥1，∴h′（x）≥0，
∴h（x）在[1，+∞）上單調遞增，∴[h（x）]_min=h（1）=1＞0，從而g′（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上也單調遞增，[g（x）]_min=g（1）=2，
∴k≤2．（12分）

點評 本題考查函數的導數，求解函數的極值與最值，考查轉化思想以及計算能力．