Question

15．設函數f（x）=|x-1|+|x-a|（a∈R）．
（Ⅰ）當a=4時，求不等式f（x）≥6的解集；
（Ⅱ）若f（x）≥5對x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=4時，把要解的不等式等價轉化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）利用絕對值三角不等式求得f（x）的最小值為|a-1|，再根據|a-1|≥5，求得a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當a=4時，求不等式f（x）≥6，即|x-1|+|x-a|=|x-1|+|x-4|≥6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{1-x+4-x≥6}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤4}\\{x-1+4-x≥6}\end{array}\right.$ ②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞4}\\{x-1+x-4≥6}\end{array}\right.$ ③．
解①求得x≤-$\frac{1}{2}$，解②求得x∈∅，解③求得 x≥$\frac{11}{2}$，
綜上可得，不等式的解集為{|x≤-$\frac{1}{2}$，或  x≥$\frac{11}{2}$}．
（Ⅱ）若f（x）≥5對x∈R恒成立，而f（x）=|x-1|+|x-a|≥|x-1-（x-a）|=|a-1|，
∴|a-1|≥5，即a-1≥5，或 a-1≤-5，求得a≥6，或 a≤-4．

點評 本題主要考查絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于中檔題．