Question

3．如圖，已知O，A，B是平面內不共線的三點，且$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，直線OA，OB，AB將平面區域分成7部分，若點P落在區域①中（含邊界），則z=2x+y的最大值為（　　）

• A． 不存在
• B． 0
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由題意，點P在△OAB內（含邊界）運動，且$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，得到x，y的約束條件，求目標函數的最大值即可．

解答 解：因為點P在△OAB內（含邊界）運動，且$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤1}\\{0≤y≤1}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$，
畫出不等式組對應的平面區域，如圖所示，
由z=2x+y，
當直線y=-2x+z經過點A（1，0）時，在y軸的截距最大，
所以z的最大值為2．
故選：D．

點評 本題考查了平面向量基本定理以及簡單的線性規劃問題，是綜合性題目．