Question

13．若直線ax+2by-2=0（a，b＞0）始終平分圓x²+y²-4x-2y=0的周長，則$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$的最小值為3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意得，直線過圓心（2，1），即 a+b=1，$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）=3+$\frac{a}$+$\frac{2a}$，利用基本不等式求出其最小值．

解答 解：由題意得，直線過圓心（2，1），所以，a+b=1．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）=3+$\frac{a}$+$\frac{2a}$≥3+2$\sqrt{2}$，當且僅當$\frac{a}$=$\frac{2a}$時，等號成立，
故答案為3+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線和圓相交的性質，基本不等式的應用，解題的突破口是判斷直線過圓心，解題的關鍵是利用a+b=1．