Question

12．已知函數(shù)f（x）=（x²-2x）sin（x-1）+x+1在[-1，3]上的最大值為M，最小值為m，則M+m=4．

Answer 1

分析 把函數(shù)解析式變形，可得f（x）=[（x-1）²-1]sin（x-1）+x-1+2，令g（x）=（x-1）²sin（x-1）-sin（x-1）+（x-1），結(jié)合g（2-x）+g（x）=0，可得g（x）關(guān)于（1，0）中心對稱，則f（x）在[-1，3]上關(guān)于（1，2）中心對稱，從而求得M+m的值．

解答 解：∵f（x）=（x²-2x）sin（x-1）+x+1=[（x-1）²-1]sin（x-1）+x-1+2
令g（x）=（x-1）²sin（x-1）-sin（x-1）+（x-1），
而g（2-x）=（x-1）²sin（1-x）-sin（1-x）+（1-x），
∴g（2-x）+g（x）=0，
則g（x）關(guān)于（1，0）中心對稱，則f（x）在[-1，3]上關(guān)于（1，2）中心對稱．
∴M+m=4．
故答案為：4．

點評 本題考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查函數(shù)奇偶性性質(zhì)的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬中檔題．