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3.把復數z的共軛復數記作$\overline z$,已知$(1+2i)\overline z=4+3i$,求z及$\frac{z}{\overline z}$.

分析 (1)把已知等式變形,利用復數代數形式的乘除運算化簡求得z;
(2)把z與$\overline{z}$代入$\frac{z}{\overline z}$,再由復數代數形式的乘除運算化簡得答案.

解答 解:(1)由$(1+2i)\overline z=4+3i$,得:
$\overline{z}$=$\frac{4+3i}{1+2i}$=$\frac{(4+3i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\frac{10-5i}{5}=2-i$,
∴$z=\overline{\overline{z}}=2+i$;
(2)$\frac{z}{\overline{z}}$=$\frac{2+i}{2-i}=\frac{(2+i)^{2}}{(2-i)(2+i)}=\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i$.

點評 本題考查復數代數形式的乘除運算,考查了復數的基本概念,是基礎題.

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