Question

20．設函數f′（x）是奇函數y=f（x）（x∈R）的導函數，f（-1）=0，當x＞0時，xf′（x）+f（x）＞0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-1）∪（0，1）
• B． （0，1）∪（1，+∞）
• C． （-∞，-1）∪（-1，0）
• D． （-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 由已知當x＞0時總有xf′（x）+f（x）＞0成立，可判斷函數g（x）為增函數，由已知f（x）是定義在R上的奇函數，可證明g（x）為（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數，根據函數g（x）在（0，+∞）上的單調性和奇偶性，而不等式f（x）＞0等價于xg（x）＞0，分類討論即可求出

解答 解：設g（x）=xf（x），則g（x）的導數為：g′（x）=f（x）+xf′（x）
∵當x＞0時，xf′（x）+f（x）＞0，
即當x＞0時，g′（x）恒大于0，
∴當x＞0時，函數g（x）為增函數，
∵f（x）為奇函數
∴函數g（x）為定義域上的偶函數
又∵g（-1）=-1×f（-1）=0，
∵f（x）＞0，
∴當x＞0時，g（x）＞0，當x＜0時，g（x）＜0，
∴當x＞0時，g（x）＞0=g（1），當x＜0時，g（x）＜0=g（-1），
∴x＞1或-1＜x＜0
故使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（-1，0）∪（1，+∞），
故選：D．

點評 本題主要考查了利用導數判斷函數的單調性，并由函數的奇偶性和單調性解不等式，屬于綜合題．