Question

5．設函數$f（x）=sin（2ωx+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}+a（ω＞0）$，且f（x）的圖象在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為$\frac{π}{6}$．
（1）求ω的值；
（2）如果f（x）在區間$[-\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$上的最小值為$\sqrt{3}$，求a的值；
（3）若g（x）=f（x）-a，則g（x）的圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象經過怎樣的變換而得到？并寫出g（x）的對稱軸和對稱中心．

Answer 1

分析 （1）由題意可知2ω×$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即可求得ω的值；
（2）由-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{5π}{6}$，則0≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{7π}{6}$，即可求得f（x）的最小值-$\frac{1}{2}$+a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則-$\frac{1}{2}$+a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，即可求得a的值；
（3）根據圖象的坐標變換，g（x）的圖象可由y=sinx先向左平移$\frac{π}{3}$個單位，再向上平移$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$個單位得到．根據函數的性質即可求得g（x）的對稱軸和對稱中心．

解答 解：（1）由f（x）的圖象在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為$\frac{π}{6}$，則2ω×$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，則ω=$\frac{1}{2}$，
∴ω的值$\frac{1}{2}$；
（2）∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）+a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
f（x）在區間$[-\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$上的最小值為$\sqrt{3}$，
由-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{5π}{6}$，則0≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{7π}{6}$，
∴sin（x+$\frac{π}{3}$）的最小值為-$\frac{1}{2}$，f（x）的最小值為-$\frac{1}{2}$+a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴-$\frac{1}{2}$+a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，則a=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∴a的值為$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$；
（3）由題可得，$g（x）=sin（x+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
所以，g（x）的圖象可由y=sinx先向左平移$\frac{π}{3}$個單位，再向上平移$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$個單位得到．
對稱軸：$x=\frac{π}{6}+kπ$，對稱中心：$（-\frac{π}{3}+kπ，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．

點評 本題考查正弦函數的性質，y=Asin（ωx+φ）+B的坐標變換，考查計算能力，屬于中檔題．