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5.設函數$f(x)=sin(2ωx+\frac{π}{3})+\frac{{\sqrt{3}}}{2}+a(ω>0)$,且f(x)的圖象在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為$\frac{π}{6}$.
(1)求ω的值;
(2)如果f(x)在區間$[-\frac{π}{3},\frac{5π}{6}]$上的最小值為$\sqrt{3}$,求a的值;
(3)若g(x)=f(x)-a,則g(x)的圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經過怎樣的變換而得到?并寫出g(x)的對稱軸和對稱中心.

分析 (1)由題意可知2ω×$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$,即可求得ω的值;
(2)由-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{5π}{6}$,則0≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{7π}{6}$,即可求得f(x)的最小值-$\frac{1}{2}$+a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$,則-$\frac{1}{2}$+a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$,即可求得a的值;
(3)根據圖象的坐標變換,g(x)的圖象可由y=sinx先向左平移$\frac{π}{3}$個單位,再向上平移$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$個單位得到.根據函數的性質即可求得g(x)的對稱軸和對稱中心.

解答 解:(1)由f(x)的圖象在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為$\frac{π}{6}$,則2ω×$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$,則ω=$\frac{1}{2}$,
∴ω的值$\frac{1}{2}$;
(2)∴f(x)=sin(x+$\frac{π}{3}$)+a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
f(x)在區間$[-\frac{π}{3},\frac{5π}{6}]$上的最小值為$\sqrt{3}$,
由-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{5π}{6}$,則0≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{7π}{6}$,
∴sin(x+$\frac{π}{3}$)的最小值為-$\frac{1}{2}$,f(x)的最小值為-$\frac{1}{2}$+a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴-$\frac{1}{2}$+a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$,則a=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$,
∴a的值為$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$;
(3)由題可得,$g(x)=sin(x+\frac{π}{3})+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,
所以,g(x)的圖象可由y=sinx先向左平移$\frac{π}{3}$個單位,再向上平移$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$個單位得到.
對稱軸:$x=\frac{π}{6}+kπ$,對稱中心:$(-\frac{π}{3}+kπ,\frac{{\sqrt{3}}}{2})$.

點評 本題考查正弦函數的性質,y=Asin(ωx+φ)+B的坐標變換,考查計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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