Question

20．若關于x的不等式x²+ax-c＜0的解集為{x|-2＜x＜1}，且函數$y=a{x^3}+m{x^2}+x+\frac{c}{2}$在區間$（{\frac{1}{2}，1}）$上不是單調函數，則實數m的取值范圍是（　　）

• A． $（-2，-\sqrt{3}）$
• B． $[{-3，-\sqrt{3}}]$
• C． $（{-∞，-2}）∪（{\sqrt{3}，+∞}）$
• D． $（{-∞，-2}）∪（{-\sqrt{3}，+∞}）$

Answer 1

分析 根據關于x的不等式x²+ax-c＜0的解集求出a，c的值，求出函數y的解析式，根據區間（$\frac{1}{2}$，1）上不是單調函數，可得y′=3x²+2mx+m=0在區間（$\frac{1}{2}$，1）上有解，且不是重解；構造函數，求導函數，確定函數的值域，即可求出實數m的取值范圍．

解答 解：關于x的不等式x²+ax-c＜0的解集為{x|-2＜x＜1}，
∴對應方程x²+ax-c=0的實數根為-2和1，
由根與系數的關系知a=-（-2+1）=1，c=-（-2）×1=2；
∴函數$y=a{x^3}+m{x^2}+x+\frac{c}{2}$=x³+mx²+x+1，
∴y′=3x²+2mx+1；
又函數y=x³+mx²+x+1在區間（$\frac{1}{2}$，1）上不是單調函數，
∴y′=3x²+2mx+1在區間（$\frac{1}{2}$，1）上有正有負，
可以轉化為3x²+2mx+1=0（*）在區間（$\frac{1}{2}$，1）上有解，且不是重解
∴由3x²+2mx+1=0，可得2m=-3x-$\frac{1}{x}$；
令f（x）=-3x-$\frac{1}{x}$，其中$\frac{1}{2}$＜x＜1，
且f'（x）=-3+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
令f'（x）=0，得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）時，f'（x）＞0，f（x）遞增，
x∈（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）時，f'（x）＜0，f（x）遞減，
∴f（x）_max=f（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=-2$\sqrt{3}$；
∵f（1）=-4，f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{7}{2}$，
∴f（x）的值域為（-4，-2$\sqrt{3}$]，
∴2m∈（-4，-2$\sqrt{3}$]，
∴m∈（-2，-$\sqrt{3}$]；
又當m=-$\sqrt{3}$時，（*）中△=0，有2個相等的根，不合題意，
∴m的范圍是（-2，-$\sqrt{3}$）．
故選：A．

點評 本題考查了一元二次不等式的運用研究導數知識的運用問題，正確運用導數求出函數的值域是解題的關鍵．