Question

8．中心在原點，對稱軸為坐標軸的雙曲線C與圓O：x²+y²=10有公共點P（3，-1），且圓O在P點處的切線與雙曲線C的一條漸近線平行，則該雙曲線的實軸長為（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{5}}{3}$
• B． 4$\sqrt{5}$
• C． $\frac{8\sqrt{5}}{3}$
• D． 8$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出切線方程，對雙曲線的焦點位置進行討論，列方程組解出雙曲線方程即可得出實軸長．

解答 解：∵k_OP=-$\frac{1}{3}$，∴圓O在P處的切線方程為y+1=3（x-3），即y=3x-10，
（1）若雙曲線焦點在x軸上，設雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
則雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{b}{a}x$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{a}=3}\\{\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{1}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，∴雙曲線的實軸長為2a=$\frac{8\sqrt{5}}{3}$．
（2）若雙曲線焦點在y軸上，設雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
則雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}{b}$x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{b}=3}\\{\frac{1}{{a}^{2}}-\frac{9}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，方程組無解．
綜上，雙曲線的實軸長為$\frac{8\sqrt{5}}{3}$．
故選C．

點評 本題考查了雙曲線的性質，屬于中檔題．