Question

17．在極坐標系下，知圓O：ρ=cosθ+sinθ和直線$l：ρsin（{θ-\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{ρ≥0，0≤θ≤2π}）$．
（1）求圓O與直線l的直角坐標方程；
（2）當θ∈（0，π）時，求圓O和直線l的公共點的極坐標．

Answer 1

分析 （1）圓O的極坐標方程化為ρ²=ρcosθ+ρsinθ，由此能求出圓O的直角坐標方程；直線l的極坐標方程化為ρsinθ-ρcosθ=1，由此能求出直線l的直角坐標方程．
（2）圓O與直線l的直角坐標方程聯立，求出圓O與直線l的在直角坐標系下的公共點，由此能求出圓O和直線l的公共點的極坐標．

解答 解：（1）圓O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ²=ρcosθ+ρsinθ，
故圓O的直角坐標方程為：x²+y²-x-y=0，
直線$l：ρsin（{θ-\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即ρsinθ-ρcosθ=1，
則直線的直角坐標方程為：x-y+1=0．
（2）由（1）知圓O與直線l的直角坐標方程，
將兩方程聯立得$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}-x-y=0}\\{x-y+1=0}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}}\right.$．
即圓O與直線l的在直角坐標系下的公共點為（0，1），
轉化為極坐標為$（{1，\frac{π}{2}}）$．

點評 本題考查直線與圓的直角坐標方程的求法，考查圓與直線的公共點的極坐標的求法，涉及到參數方程、普通方程、極坐標方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．