Question

9．若長度為x²+4，4x，x²+6的三條線段可以構成一個銳角三角形，則x取值范圍是x$＞\frac{\sqrt{15}}{3}$．

Answer 1

分析 x²+6＞x²+4≥4x＞0，可得x²+6為最大邊．由于此三角形為銳角三角形，可得cosθ=$\frac{（{x}^{2}+4）^{2}+（4x）^{2}-（{x}^{2}+6）^{2}}{2×4x×（{x}^{2}+4）}$＞0，解出即可得出．

解答 解：∵x²+6＞x²+4≥4x＞0，可得x²+6為最大邊．
由于此三角形為銳角三角形，∴cosθ=$\frac{（{x}^{2}+4）^{2}+（4x）^{2}-（{x}^{2}+6）^{2}}{2×4x×（{x}^{2}+4）}$＞0，
化為：x²＞$\frac{5}{3}$，x＞0，解得x$＞\frac{\sqrt{15}}{3}$．
故答案為：x$＞\frac{\sqrt{15}}{3}$．

點評 本題考查了余弦定理、不等式的解法、銳角三角形，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．