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15.已知向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{e}$,|$\overrightarrow{e}$|=1,f(x)=|$\overrightarrow{a}-x\overrightarrow{e}$|是定義在R上的函數(shù),
(1)若f(x)≥f(1)對所有x∈R都成立,求證:($\overrightarrow{a}-\overrightarrow{e}$)⊥$\overrightarrow{e}$;
(2)求當x取何值時,f(x)取到最小值.

分析 (1)求出f(x)的解析式,根據(jù)二次函數(shù)的性質,令對稱軸為x=1即可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$=1,
從而可得($\overrightarrow{a}-\overrightarrow{e}$)•$\overrightarrow{e}$=0;
(2)利用二次函數(shù)的性質即可得出結論.

解答 解:(1)證明:∵($\overrightarrow{a}-x\overrightarrow{e}$)2=$\overrightarrow{a}$2-2x$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$+x2,∴f(x)=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-2x\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}+{x}^{2}}$,
∵f(x)≥f(1)對所有x∈R都成立,
∴當x=1時,x2-2x$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$+${\overrightarrow{a}}^{2}$取得最小值,
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$=1,
∴($\overrightarrow{a}-\overrightarrow{e}$)•$\overrightarrow{e}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$-${\overrightarrow{e}}^{2}$=1-1=0,
∴($\overrightarrow{a}-\overrightarrow{e}$)⊥$\overrightarrow{e}$.
(2)∵x2-2x$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$+${\overrightarrow{a}}^{2}$=(x-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$)2+${\overrightarrow{a}}^{2}$-($\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$)2
∴當x=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$時,f(x)取得最小值.

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算,二次函數(shù)的性質,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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19.已知角α的頂點在原點,始邊與x軸的正半軸重合
(1)若終邊經(jīng)過點P(-1,2),求sin αcos α的值;
(2)若角α的終邊在直線y=-3x上,求tan α+$\frac{3}{cosα}$的值.

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20.設函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)y=f(x)(x∈R)的導函數(shù),f(-1)=0,當x>0時,xf′(x)+f(x)>0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(  )
A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(0,1)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(-1,0)∪(1,+∞)

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3.若a>0,b>0,且42a+b=2ab,則a+b的最小值是(  )
A.12B.6+2$\sqrt{2}$C.6+4$\sqrt{2}$D.6+4$\sqrt{3}$

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10.函數(shù)f(x)=sinx-$\frac{2}{5π}$x零點的個數(shù)是(  )
A.4B.6C.7D.8

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20.若關于x的不等式x2+ax-c<0的解集為{x|-2<x<1},且函數(shù)$y=a{x^3}+m{x^2}+x+\frac{c}{2}$在區(qū)間$({\frac{1}{2},1})$上不是單調函數(shù),則實數(shù)m的取值范圍是(  )
A.$(-2,-\sqrt{3})$B.$[{-3,-\sqrt{3}}]$C.$({-∞,-2})∪({\sqrt{3},+∞})$D.$({-∞,-2})∪({-\sqrt{3},+∞})$

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7.富華中學的一個文學興趣小組中,三位同學張博源、高家銘和劉雨恒分別從莎士比亞、雨果和曹雪芹三位名家中選擇了一位進行性格研究,并且他們選擇的名家各不相同.三位同學一起來找圖書管理員劉老師,讓劉老師猜猜他們三人各自的研究對象.劉老師猜了三句話:“①張博源研究的是莎士比亞;②劉雨恒研究的肯定不是曹雪芹;③高家銘自然不會研究莎士比亞.”很可惜,劉老師的這種猜法,只猜對了一句,據(jù)此可以推知張博源、高家銘和劉雨恒分別研究的是(  )
A.曹雪芹、莎士比亞、雨果B.雨果、莎士比亞、曹雪芹
C.莎士比亞、雨果、曹雪芹D.曹雪芹、雨果、莎士比亞

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4.經(jīng)過點(1,1)和(-2,4)的直線的一般式方程是x+y-2=0.

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5.在△ABC中,有下列結論:
①若a2=b2+c2+bc,則∠A為60°;
②若a2+b2>c2,則△ABC為銳角三角形;
③若A:B:C=1:2:3,則a:b:c=1:2:3,
④在△ABC中,b=2,B=45°,若這樣的三角形有兩個,則邊a的取值范圍為(2,2$\sqrt{2}$)
其中正確的個數(shù)為(  )
A.1B.2C.3D.4

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