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16.已知圓錐的側面展開圖是一個半圓;
(1)求圓錐的母線與底面所成的角;
(2)過底面中心O1且平行于母線AB的截平面,若截面與圓錐側面的交線是焦參數(焦點到準線的距離)為p的拋物線,求圓錐的全面積;
(3)過底面點C作垂直且于母線AB的截面,若截面與圓錐側面的交線是長軸為2a的橢圓,求橢圓的面積(橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的面積S=πab).

分析 (1)根據側面展開圖的特征列方程得出底面半徑和母線的關系,從而得出母線與底面所成的角;
(2)根據拋物線的一條弦為圓錐底面直徑得出底面半徑和p的關系,從而可得圓錐的面積;
(3)利用三角形相似和圓錐的特點得出橢圓的長軸,短軸和底面半徑的關系,從而可得長短軸的關系,得出答案.

解答 解:(1)設圓錐的底面半徑為r,母線長為l,
則圓錐側面展開圖的半徑為l,弧長為2πr,
∵圓錐的側面展開圖是一個半圓,∴2πr=πl,
∴l=2r,∴圓錐的軸截面為等邊三角形,
∴圓錐的母線與底面所成的角為$\frac{π}{3}$.
(2)設拋物線的頂點M,則M為AC的中點,
設拋物線方程為y2=2px,把y=r代入拋物線方程得x=$\frac{{r}^{2}}{2p}$,
∴OM=$\frac{{r}^{2}}{2p}$,于是母線l=AB=2OM=$\frac{{r}^{2}}{p}$,
又由(1)可知l=2r,即$\frac{{r}^{2}}{p}$=2r,∴r=2p,l=4p,
∴圓錐的全面積為πr2+πrl=12πp2
(3)設AB的中點為N,則N和C為橢圓的長軸頂點,
取CN的中點P,則P為橢圓的中心,連接AP并延長,交BC于Q,過Q作QR⊥BC,交圓錐底面圓周于R,
則CN=2a=$\sqrt{3}$r,即r=$\frac{2a}{\sqrt{3}}$,
過N作NS∥BC交AQ于S,由△NPS∽△CPR可知QC=NS,又$\frac{NS}{BQ}=\frac{1}{2}$,
∴Q為BC靠近C的三等分點,
∴QR=$\frac{2\sqrt{2}r}{3}$,AQ=$\frac{2\sqrt{7}r}{3}$,AP=$\frac{\sqrt{7}r}{2}$,
∴$\frac{b}{QR}$=$\frac{AP}{AQ}$,∴b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r,即b=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a,
∴橢圓面積S=πab=$\frac{{\sqrt{6}π{a^2}}}{3}$.

點評 本題考查了圓錐的結構特征,圓錐的截面曲線,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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