Question

16．已知圓錐的側面展開圖是一個半圓；
（1）求圓錐的母線與底面所成的角；
（2）過底面中心O₁且平行于母線AB的截平面，若截面與圓錐側面的交線是焦參數（焦點到準線的距離）為p的拋物線，求圓錐的全面積；
（3）過底面點C作垂直且于母線AB的截面，若截面與圓錐側面的交線是長軸為2a的橢圓，求橢圓的面積（橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的面積S=πab）．

Answer 1

分析 （1）根據側面展開圖的特征列方程得出底面半徑和母線的關系，從而得出母線與底面所成的角；
（2）根據拋物線的一條弦為圓錐底面直徑得出底面半徑和p的關系，從而可得圓錐的面積；
（3）利用三角形相似和圓錐的特點得出橢圓的長軸，短軸和底面半徑的關系，從而可得長短軸的關系，得出答案．

解答 解：（1）設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，
則圓錐側面展開圖的半徑為l，弧長為2πr，
∵圓錐的側面展開圖是一個半圓，∴2πr=πl，
∴l=2r，∴圓錐的軸截面為等邊三角形，
∴圓錐的母線與底面所成的角為$\frac{π}{3}$．
（2）設拋物線的頂點M，則M為AC的中點，
設拋物線方程為y²=2px，把y=r代入拋物線方程得x=$\frac{{r}^{2}}{2p}$，
∴OM=$\frac{{r}^{2}}{2p}$，于是母線l=AB=2OM=$\frac{{r}^{2}}{p}$，
又由（1）可知l=2r，即$\frac{{r}^{2}}{p}$=2r，∴r=2p，l=4p，
∴圓錐的全面積為πr²+πrl=12πp²．
（3）設AB的中點為N，則N和C為橢圓的長軸頂點，
取CN的中點P，則P為橢圓的中心，連接AP并延長，交BC于Q，過Q作QR⊥BC，交圓錐底面圓周于R，
則CN=2a=$\sqrt{3}$r，即r=$\frac{2a}{\sqrt{3}}$，
過N作NS∥BC交AQ于S，由△NPS∽△CPR可知QC=NS，又$\frac{NS}{BQ}=\frac{1}{2}$，
∴Q為BC靠近C的三等分點，
∴QR=$\frac{2\sqrt{2}r}{3}$，AQ=$\frac{2\sqrt{7}r}{3}$，AP=$\frac{\sqrt{7}r}{2}$，
∴$\frac{b}{QR}$=$\frac{AP}{AQ}$，∴b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，即b=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
∴橢圓面積S=πab=$\frac{{\sqrt{6}π{a^2}}}{3}$．

點評 本題考查了圓錐的結構特征，圓錐的截面曲線，屬于中檔題．