Question

20．若直線ax+2by-2=0（a＞0，b＞0），始終平分圓x²+y²-4x-2y-8=0的長，則$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最值為3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意可知圓x²+y²-4x-2y-8=0的圓心（2，1）在直線ax+2by-2=0上，可得a+b=1，而$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）（a+b），展開利用基本不等式可求最小值

解答 解：由圓的性質可知，直線ax+2by-2=0即是圓的直徑所在的直線方程．
∵圓x²+y²-4x-2y-8=0的標準方程為（x-2）²+（y-1）²=13，
∴圓心（2，1）在直線ax+2by-2=0上，
∴2a+2b-2=0即a+b=1，
∵$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）（a+b）=3+$\frac{b}{a}$+$\frac{2a}{b}$≥3+2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值3+2$\sqrt{2}$．
故答案為3+2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了圓的性質的應用，利用基本不等式求解最值的問題，解題的關鍵技巧在于“1”的基本代換．