Question

15．已知關于x的一元二次函數f（x）=ax²-bx+1．
（1）設集合P={-1，1，2，3}，Q={-3，-2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數作為a和b，函數y=f（x）在區間[1，+∞）上是增函數的概率；
（2）設點（a，b）是區域$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2≥0}\\{x+2y+2≥0}\\{x-y-1≤0}\end{array}\right.$內的隨機點，求函數y=f（x）在區間[1，+∞）上是減函數的概率．

Answer 1

分析 利用二次函數的單調性即可得出所包括的基本事件的個數（2）本題是一個等可能事件的概率問題，根據第一問做出的函數是增函數，得到試驗發生包含的事件對應的區域和滿足條件的事件對應的區域，做出面積，得到結果

解答 解：（1）（a，b）共有（-1，-3），（-1，-2），（-1，3），（-1，4），（1，-3），（1，-2），（1，3），（1，4），（2，-3），（2，-2），（2，3），（2，4），（3，-3），（3，-2），（3，3），（3，4）16種情況．
二次函數f（x）=ax²-bx+1的對稱軸x=$\frac{2a}$，
∵函數y=f（x）在區間[1，+∞）上是增函數，∴$\frac{2a}$≤1，即b≤2a，且a＞0，
有（1，-3），（1，-2），（2，-3），（2，-2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，-3），（3，-2），（3，3），（3，4），共11種情況．
∴函數y=f（x）在區間[1，+∞）上是增函數的概率P=$\frac{11}{16}$．
（2）由（1）知，點（a，b）是區域$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2≥0}\\{x+2y+2≥0}\\{x-y-1≤0}\end{array}\right.$對應的區域如圖黑色部分區域，由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2=0}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$得到A（4，3），所以面積為$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\frac{|4+2×3+2|}{\sqrt{5}}$=6，
滿足函數f（x）=ax²-bx+1在區是間[1，+∞）上為減函數條件是當且僅當2a≥b，且a＜0，對應區域如圖黃色區域，由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{x+2y+2=0}\end{array}\right.$得到交點坐標（$-\frac{2}{5}，-\frac{4}{5}$，）所以面積為$\frac{1}{2}×1×\frac{2}{5}=\frac{1}{5}$，所以函數y=f（x）在區間[1，+∞）上是減函數的概率為兩部分面積比為$\frac{\frac{1}{5}}{6}=\frac{1}{30}$．

點評 本題考查了古典概型和幾何概型；古典概型要求能夠列舉出所有事件和發生事件的個數，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積、的比值得到．