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13.方程$\sqrt{-{x^2}-2x}$=kx+4有兩個不相等的實根,則k的取值范圍是(  )
A.$(\frac{15}{8},2]$B.[2,+∞)C.$(-∞,\frac{15}{8}]$D.$(\frac{15}{8},+∞)$

分析 方程有兩個不等的實根可以轉化為函數$y=\sqrt{-{x}^{2}-2x}$和函數y=kx+4的圖象由兩個不同的交點,在求出臨界位置的直線的斜率即可.

解答 解:
方程有兩個不等的實根等價于函數$y=\sqrt{-{x}^{2}-2x}$和函數y=kx+4的圖象由兩個不同的交點,
函數$y=\sqrt{-{x}^{2}-2x}$的解析式可變形為x2+y2+2x=0,即(x+1)2+y2=1(y≥0),其圖象為圓點在(-1,0),半徑為1的圓在x軸上方的部分,如圖

由圖可知,當直線PN繞點P順時針旋轉至直線PM(PM為切線)位置時,直線與半圓有兩個交點,
又${k}_{PN}=\frac{4-0}{0-(-2)}=2$,當直線與半圓相切時有:$\frac{|4-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$,解得:kPM=$\frac{15}{8}$,
∴k的取值范圍是$(\frac{15}{8},2]$.
故選:A.

點評 本題考查用數形結合的方法判斷方程解的個數問題.解題關鍵是能正確把方程得解的個數問題轉化為函數圖象的交點個數問題.此題若用代數方法求解要復雜得多.屬于中檔題.

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