Question

已知在平面直角坐標系xoy中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，長半軸長為4，離心率為

1

2

，
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若點E（0，1），問是否存在直線l與橢圓交于M，N兩點且|ME|=|NE|，若存在，求出直線l斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

a=4 e= c a = 1 2 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．
（2）設直線l：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）將直線l：y=kx+m與橢圓聯立

y=kx+m x2 16 + y2 12 =1

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-48=0，由此利用根的判別式、韋達定理、中點坐標公式，結合已知條件能求出直線l斜率的取值范圍．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，長半軸長為4，離心率為

1

2

，
∴

a=4 e= c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得a=4，b=2

3

，
∴橢圓C：

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）設直線l：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
將直線l：y=kx+m與橢圓聯立可得

y=kx+m x2 16 + y2 12 =1

，
消去y得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-48=0，
∴△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-48）＞0，
∴16k²+12＞m²，①
∴x1+x2=

-8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-48

3+4k2

，
設MN中點F（x₀，y₀），
∴x0=

x1+x2

2

=

-4km

3+4k2

，y0=kx0+m=

3m

3+4k2

，
∵ME|=|NE|，
∴EF⊥MN，
∴k_EFk=-1，
∴

3m 3+4k2 -1

-4km 3+4k2

•k=-1，
∴m=-（4k²+3）代入①可得：16k²+12＞（4k²+3）²
∴16k⁴+8k²-3＜0
解得-

1

2

＜k＜

1

2

．
∴直線l斜率的取值范圍是（-

1

2

，

1

2

）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、中點坐標公式的合理運用．