Question

已知兩點A（-2，0），B（2，0），動點P在x軸上的射影為H，且

PA

•

PB

=λ•|

PH

|²，其中λ≥0
（1）求動點P（x，y）的軌跡C的方程并討論C的軌跡形狀
（2）過點A（-2，0）且斜率為1的直線交曲線C于M，N兩點，若MN中點橫坐標為-

2

3

．求實數λ？

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設P（x，y），由已知得（-2-x，-y）•（2-x，-y）=λ•y²，由此能求出動點P（x，y）的軌跡C的方程并討論C的軌跡形狀．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），過點A（-2，0）且斜率為1的直線為：y=x+2，聯立

y=x+2 x2+(1-λ)y2=4

，得（2-λ）x²+4（1-λ）x-4λ=0，由此利用韋達定理，結合已知條件能求出實數λ．

解答： 解：（1）設P（x，y），∵兩點A（-2，0），B（2，0），
動點P在x軸上的射影為H，且

PA

•

PB

=λ•|

PH

|²，其中λ≥0，
∴（-2-x，-y）•（2-x，-y）=λ•y²，
整理，得x²+y²-4=λy²，即x²+（1-λ）y²=4．
①λ=0時，軌跡C是圓；
②0＜λ＜1，軌跡C是橢圓，
③λ=1，軌跡C是兩條平行直線；
④λ＞1，軌跡C是雙曲線．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），過點A（-2，0）且斜率為1的直線為：y=x+2，
聯立

y=x+2 x2+(1-λ)y2=4

，得（2-λ）x²+4（1-λ）x-4λ=0，
∵直線交曲線C于M，N兩點，∴△＞0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

-4(1-λ)

2-λ

，x1x2=

-4λ

2-λ

，
∵MN中點橫坐標為-

2

3

，
∴

x1+x2

2

=

-2(1-λ)

2-λ

=-

2

3

，
解得λ=

1

2

．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法和曲線類型的討論，考查實數值的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想和韋達定理的合理運用．