Question

在平面直角坐標系中，已知動點M（x，y），點A（0，1）、B（0，-1），D（1，0），點N與點M關于直線y=x對稱，且

AN

•

BN

=

1

2

x²，直線l是過點D的任意一條直線．
（1）求動點M所在曲線C的軌跡方程；
（2）設直線l與曲線C交于G、H兩點，且|GH|=

3 2

2

，求直線l的方程；
（3）若直線l與曲線C交于G、H兩點，與線段AB交于點P（點P不同于點O、A、B），直線GB與直線HA交于點O，求證：

OP

•

OQ

是定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,證明題,平面向量及應用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）求出N的坐標，運用向量的數量積的坐標表示，化簡即可得到軌跡方程；
（2）設l：y=k（x-1），聯立橢圓方程，消去y，運用韋達定理和弦長公式，即可求得斜率，進而得到直線方程；
（3）求出HA，GB的方程，設出Q的坐標，由（2）得，P（0，-k），再由直線GB與直線HA交于點O，解得Q的縱坐標，再由向量的數量積的坐標表示，即可得到定值1．

解答： 解：（1）由題意可得，N（y，x），

AN

=（y，x-1），

BN

=（y，x+1），

AN

•

BN

=

1

2

x²，
即有y²+x²-1=

1

2

x²，即有C：

x2

2

+y2=1；
（2）若l平行于y軸，則|GH|=

2

，這與已知矛盾，則l不平行于y軸．
設l：y=k（x-1），聯立橢圓方程，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
設H（x₁，y₁），G（x₂，y₂），則x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

，
且判別式大于0，又|GH|=

3 2

2

，
即

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

16k2 (1+2k2)2 - 8k2-8 1+2k2

=

3 2

2

，解得，k=±

2

2

．
則l：y=±

2

2

（x-1）；
（3）證明：由l與 AB交于P，且與點O，A，B不重合，
則l的斜率k：-1＜k＜1且k≠0，由（2）得，P（0，-k），
y₁+y₂=

-2k

1+2k2

，y₁y₂=

-k2

1+2k2

，
HA：y-1=

y1-1

x1

x，GB：y+1=

y2+1

x2

x．
Q（x_Q，y_Q），則有

yQ-1

yQ+1

=

y1-1

y2+1

•

x2

x1

則

yQ-1

yQ+1

＞0，（

yQ-1

yQ+1

）²=

(y1-1)2

(y2+1)2

•

x22

x12

=

1-(y1+y2)+y1y2

1+(y1+y2)+y1y2

=（

1+k

1-k

）²，
則有

yQ-1

yQ+1

=

1+k

1-k

，解得，y_Q=-

1

k

，
則有

OP

•

OQ

=（0，-k）•（x_Q，-

1

k

）=0+（-k）•(-

1

k

)=1為定值．

點評：本題考查軌跡方程的求法，考查平面向量的數量積的坐標表示，考查直線方程和橢圓方程聯立，運用韋達定理和弦長公式，考查直線的斜率公式的運用，以及化簡整理的能力，屬于中檔題．