Question

已知雙曲線C₁的漸近線是

3

x±2y=0，焦點坐標是F₁（-

7

，0）、F₂（

7

，0）．
（Ⅰ）求雙曲線C₁的方程；
（Ⅱ）若橢圓C₂與雙曲線C₁有公共的焦點，且它們的離心率之和為

5 7

6

，點P在橢圓C₂上，且|PF₁|=4，求∠F₁PF₂的大小．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）設雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1，由已知

b a = 3 2 a2+b2=7

，由此能求出雙曲線C₁方程．
（II）由已知得橢圓C₂離心率是

7

3

，c=

7

，a=3，|F1F2|=2

7

，由此利用余弦定理能求出∠F₁PF₂的大小．

解答： 解：（I）根據題意，設雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1，
則

b a = 3 2 a2+b2=7

，

a2=4 b2=3

，
雙曲線C₁方程是

x2

4

-

y2

3

=1．
（II）∵雙曲線C₁的離心率是

7

2

，∴橢圓C₂離心率是

7

3

，
在橢圓C₂中，c=

7

，∴a=3，|F1F2|=2

7

，
∵|PF₁|=4，由橢圓定義，|PF₂|=2，在△F₁PF₂中，
根據余弦定理，cos∠F1PF2=

22+42-(2 7 )2

2•2•4

=-

1

2

，
∴∠F₁PF₂=120°．

點評：本題考查雙曲線方程的求法，考查角的大小的求法，是中檔題，解題時要注意橢圓、雙曲線簡單性質的合理運用．