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18.設(shè)f(x)=lnx-ax+1.
(1)求f(x)的極值;
(2)當(dāng)a>0時,恒有f(x)≤0,求a范圍,在此情況下,4x-3•2x+3≤a恒成立,求x范圍;
(3)證明:$\frac{{ln{2^2}}}{2^2}+\frac{{ln{3^2}}}{3^2}+…+\frac{{ln{n^2}}}{n^2}<\frac{{2{n^2}-n-1}}{2(n+1)}(n∈N,n≥2)$.

分析 (1)求導(dǎo)數(shù),分類討論,取得函數(shù)的單調(diào)性,即可求f(x)的極值;
(2)由(1)可知-lna≤0,a≥1.4x-3•2x+3≤a恒成立,4x-3•2x+3≤1,由此即可求x范圍;
(3)證明lnx≤x-1,從而$\frac{lnx}{x}≤1-\frac{1}{x}$,令x=n2,可得$\frac{lnn}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{{n}^{2}}$),再進行疊加,利用放縮法,即可證得結(jié)論成立.

解答 (1)解:∵f(x)=lnx-ax+1,
∴f′(x)=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$,
a≤0時,f′(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增,無極值;
a>0時,f′(x)>0,0<x<$\frac{1}{a}$,函數(shù)單調(diào)遞增,f′(x)<0,x>$\frac{1}{a}$,函數(shù)單調(diào)遞減,
∴x=$\frac{1}{a}$,函數(shù)取得極大值f($\frac{1}{a}$)=-lna;
(2)解:由(1)可知-lna≤0,∴a≥1.
4x-3•2x+3≤a恒成立,∴4x-3•2x+3≤1,∴4x-3•2x+2≤0,1≤2x≤2,∴0≤x≤1;
(3)證明:當(dāng)a=1,當(dāng)0<x≤1,f(x)=lnx-x+1,f′(x)=$\frac{1-x}{x}$>0,所以f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增;
x>1時,f(x)=lnx-x+1,f′(x)=$\frac{1-x}{x}$<0,所以f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴f(x)≤f(1)=0,
∴l(xiāng)nx≤x-1.
∵x>0,∴$\frac{lnx}{x}≤1-\frac{1}{x}$,
∵n∈N+,n≥2,令x=n2,得$\frac{lnn}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{{n}^{2}}$),
∴$\frac{ln2}{{2}^{2}}$+$\frac{ln3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+1-$\frac{1}{{n}^{2}}$),
=$\frac{1}{2}$[n-1-($\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$)]<$\frac{1}{2}$[n-1-($\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n(n+1)}$]
=$\frac{1}{2}$[n-1-($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$)]=$\frac{2{n}^{2}-n+1}{4(n+1)}$,
∴$\frac{{ln{2^2}}}{2^2}+\frac{{ln{3^2}}}{3^2}+…+\frac{{ln{n^2}}}{n^2}<\frac{{2{n^2}-n-1}}{2(n+1)}(n∈N,n≥2)$.

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,用放縮法證明不等式,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,其中用放縮法證明不等式是解題的難點.

練習(xí)冊系列答案
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