Question

3．已知橢圓G的焦點分別為F₁（-2，0），F₂（2，0），且經過點$M（-2，\sqrt{2}）$，直線l：x=ty+2與橢圓G交于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）求△F₁AB的面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：c=2，由兩點間的距離公式可知：$2a=|M{F_1}|+|M{F_2}|=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}$，即$a=2\sqrt{2}$，可知b²=a²-c²=4，即可求得橢圓G的方程；
（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理，弦長公式求得△F₁AB的面積，由基本不等式的性質，即可求得△F₁AB的面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）設橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
則$2a=|M{F_1}|+|M{F_2}|=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}$，
∴$a=2\sqrt{2}$，
∵c=2，
∴b²=a²-c²=4，
∴橢圓G的方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$．…（5分）
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\\ x=ty+2\end{array}\right.$得（t²+2）y²+4ty-4=0，△=32t²+32＞0恒成立．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${y_1}+{y_2}=-\frac{4t}{{{t^2}+2}}$，${y_1}{y_2}=-\frac{4}{{{t^2}+2}}$．
丨y₁-y₂丨=$\sqrt{（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
△F₁AB的面積等于S=$\frac{1}{2}$•2c•丨y₁-y₂丨，
=2•$\sqrt{（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$，
=8$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{{t}^{2}+1}}{{t}^{2}+2}$，
=8$\sqrt{3}$•$\frac{1}{\sqrt{{t}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{t}^{2}+1}}}$≤8$\sqrt{2}$•$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{\sqrt{\sqrt{{t}^{2}+1}•\frac{1}{\sqrt{{t}^{2}+1}}}}$=4$\sqrt{2}$，
，
當且僅當$\sqrt{{t^2}+1}=\frac{1}{{\sqrt{{t^2}+1}}}$，即t=0時，等號成立，
∴當t=0時，△F₁AB的面積的最大值等于$4\sqrt{2}$．…（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，韋達定理，弦長公式三角形的面積公式及基本不等式的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．