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3.已知橢圓G的焦點分別為F1(-2,0),F2(2,0),且經過點$M(-2,\sqrt{2})$,直線l:x=ty+2與橢圓G交于A,B兩點.
(Ⅰ)求橢圓G的方程;
(Ⅱ)求△F1AB的面積的最大值.

分析 (Ⅰ)由題意可知:c=2,由兩點間的距離公式可知:$2a=|M{F_1}|+|M{F_2}|=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}$,即$a=2\sqrt{2}$,可知b2=a2-c2=4,即可求得橢圓G的方程;
(Ⅱ)將直線方程代入橢圓方程,由韋達定理,弦長公式求得△F1AB的面積,由基本不等式的性質,即可求得△F1AB的面積的最大值.

解答 解:(Ⅰ)設橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$,
則$2a=|M{F_1}|+|M{F_2}|=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}$,
∴$a=2\sqrt{2}$,
∵c=2,
∴b2=a2-c2=4,
∴橢圓G的方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$.…(5分)
(Ⅱ)由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\\ x=ty+2\end{array}\right.$得(t2+2)y2+4ty-4=0,△=32t2+32>0恒成立.
設A(x1,y1),B(x2,y2),則${y_1}+{y_2}=-\frac{4t}{{{t^2}+2}}$,${y_1}{y_2}=-\frac{4}{{{t^2}+2}}$.
丨y1-y2丨=$\sqrt{({y}_{1}-{y}_{2})^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
△F1AB的面積等于S=$\frac{1}{2}$•2c•丨y1-y2丨,
=2•$\sqrt{({y}_{1}-{y}_{2})^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$,
=8$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{{t}^{2}+1}}{{t}^{2}+2}$,
=8$\sqrt{3}$•$\frac{1}{\sqrt{{t}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{t}^{2}+1}}}$≤8$\sqrt{2}$•$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{\sqrt{\sqrt{{t}^{2}+1}•\frac{1}{\sqrt{{t}^{2}+1}}}}$=4$\sqrt{2}$,

當且僅當$\sqrt{{t^2}+1}=\frac{1}{{\sqrt{{t^2}+1}}}$,即t=0時,等號成立,
∴當t=0時,△F1AB的面積的最大值等于$4\sqrt{2}$.…(12分)

點評 本題考查橢圓的標準方程,直線與橢圓的位置關系,韋達定理,弦長公式三角形的面積公式及基本不等式的綜合應用,考查計算能力,屬于中檔題.

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