Question

13．如圖，河的一側是以O為圓形，半徑為80$\sqrt{3}$米的扇形區域OCD，河的另一側有一建筑物AB垂直于水平面，假設扇形OCD與點B處于同一水平面，記OB與$\widehat{CD}$的交點為E，若在點C，點O和點E處看到點A的仰角分別為45°，30°和60°，則∠CBO的余弦值為$\frac{4\sqrt{3}}{9}$．

Answer 1

分析 由題意，分別求出△CBO的三邊，利用余弦定理求角度．

解答 解：由題意，∠ABE=60°，∠ACB=45°，∠AOB=30°，所以∠EAB=30°，
所以AE=OE=80$\sqrt{3}$，并且建筑物AB垂直于水平面，
所以BE=40$\sqrt{3}$，所以OB=120$\sqrt{3}$，BC=AB=AE×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=120，
在△CBO中，cos∠CBO=$\frac{B{C}^{2}+O{B}^{2}-O{C}^{2}}{2BC×OB}$=$\frac{12{0}^{2}+（120\sqrt{3}）^{2}-（80\sqrt{3}）^{2}}{2×120×120\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$；
故答案為：$\frac{4\sqrt{3}}{9}$．

點評 本題考查了解三角形的實際應用；關鍵是將問題抽象出數學模型，利用余弦定理解三角形．