Question

9．在平面直角坐標系xOy內有三個定點A（2，2），B（1，3），C（1，1），記△ABC的外接圓為E．
（1）求邊AB的中線所在的直線方程
（2）求圓E的方程；
（3）若過原點O的直線l與圓E相交所得弦的長為$\sqrt{2}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）先求出AB的中點M坐標，再求出k_MC，由此能求出AB邊中線所在直線方程．
（2）設△ABC的外接圓E的圓心D（a，b），半徑為r（r＞0）．則E為：（x-a）²+（y-b）²=r²．由此利用代入法能求出圓E的方程．
（3）設直線l的方程為y=kx，設l與圓E相交于點M，N，過圓心D作直線l的垂線，垂足為P，由此利用兩點間距離公式、點到直線距離公式，結合已知條件能求出直線l的方程．

解答 解：（1）∵A（2，2），B（1，3），
∴AB的中點M坐標為（$\frac{3}{2}，\frac{5}{2}$），（1分）
∵C（1，1），∴k_MC=$\frac{\frac{5}{2}-1}{\frac{3}{2}-1}$=3，（2分）
∴AB邊中線所在直線方程為：y-$\frac{5}{2}=3（x-\frac{3}{2}）$，
整理得：3x-y-2=0．（4分）
（2）設△ABC的外接圓E的圓心D（a，b），半徑為r（r＞0）．
則E為：（x-a）²+（y-b）²=r²．
由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{（2-a）^2}+{（2-b）^2}={r^2}\\{（1-a）^2}+{（3-b）^2}={r^2}\\{（1-a）^2}+{（1-b）^2}={r^2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\\ r=1\end{array}\right.$，所以圓E的方程：（x-1）²+（y-2）²=1．…（9分）
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx
如圖，設l與圓E相交于點M，N，過圓心D作直線l的垂線，垂足為P，
所以$|MN|=2|PN|=\sqrt{2}$，即$|PN|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
在 Rt△DPN中，|DN|=1，$|PN|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以$|DP|=\sqrt{|DN{|^2}-|PN{|^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又因為圓E的圓心到直線l的距離$|DP|=\frac{|k-2|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$．
所以$|DP|=\frac{|k-2|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
解得k=1或k=7，
故直線l的方程為y=x或y=7x．…（14分）

點評 本題考查直線方程和圓的方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意兩點間距離公式、點到直線距離公式、中點坐標公式、斜率公式的合理運用．