Question

1．下列命題中：
①△ABC中，A＞B?sinA＞sinB
②數列{a_n}的前n項和S_n=n²-2n-1，則數列{a_n}是等差數列．
③銳角三角形的三邊長分別為3，7，a，則a的取值范圍是2$\sqrt{10}$$＜a＜\sqrt{58}$．
④若S_n=2-a_n，則{a_n}是等比數列
真命題的序號是①③④．

Answer 1

分析 逐項判斷各個命題的真假即可得解．①由三角形中的邊角關系和正弦定理易得；②④由數列通項和前n項和的關系可判斷命題真假；③由余弦定理列出不等式組，可得結果．

解答 解：①∵A＞B，∴a＞b，∴由正弦定理有sinA＞sinB，故①為真；
②當n=1時，a₁=S₁=-2，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-3，不能表示首項，故{a_n}不是等差數列，即②為假；
③∵三角形是銳角三角形，∴由余弦定理有$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{2}{+a}^{2}{-7}^{2}＞0}\\{{3}^{2}{+7}^{2}{-a}^{2}＞0}\end{array}\right.$，解得$2\sqrt{10}＜a＜\sqrt{58}$，即③為真；
④當n=1時，a₁=1，當n≥2時，由S_n=2-a_n得：S_n-1=2-a_n-1，兩式相減得${a}_{n}=\frac{1}{2}{•a}_{n-1}$，故數列{a_n}為等比數列，故④為真．
綜上知，
答案為：①③④．

點評 本題考查內容較多，但難度不大．正確掌握各個命題中涉及到的知識點以及掌握其相關的解決方法是解題關鍵．