Question

6．如圖，D是直角△ABC斜邊BC上一點(diǎn)，AC=$\sqrt{3}$DC．
（1）若∠DAC=30°，求角B的大小；
（2）若BD=2DC，且AD=3$\sqrt{2}$，求DC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理求出sin∠ADC的值，進(jìn)而求出∠ADC的度數(shù)，即可求出∠B的度數(shù)；
（2）設(shè)DC=x，表示出BD，BC，以及AC，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及余弦定理求出x的值，確定出DC的長(zhǎng)即可．

解答 解：（1）在△ABC中，由正弦定理得：$\frac{DC}{sin∠DAC}$=$\frac{AC}{sin∠ADC}$，
由題意得：sin∠ADC=$\sqrt{3}$sin∠DAC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°＞60°，
∴∠ADC=120°，
∴∠B=60°；
（2）設(shè)DC=x，則BD=2x，BC=3x，AC=$\sqrt{3}$x，
在Rt△ABC中，sinB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AB=$\sqrt{6}$x，
∴cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
在△ABD中，由余弦定理得：（3$\sqrt{2}$）²=6x²+4x²-2×$\sqrt{6}$x×2x×$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
解得：x=3，
則DC=3．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．