Question

14．已知P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1上的一個點，M，N分別為圓（x+3）²+y²=1和圓（x-3）²+y²=4上的點，則|PM|+|PN|的最小值為7．

Answer 1

分析 由橢圓的定義：|PF₁|+|PF₂|=2a=10．圓（x+3）²+y²=1和圓（x-3）²+y²=4上的圓心和半徑分別為F₁（-3，0），r₁=1；F₂（3，0），r₂=2．由|PM|+r₁≥|PF₁|，|PN|+r₂≥|PF₂|．|PM|+|PN|≥|PF₁|+|PF₂|-1-2=7．

解答 解：由橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1焦點在x軸上，a=5，b=4，c=3，
∴焦點分別為：F₁（-3，0），F₂（3，0）．
|PF₁|+|PF₂|=2a=10．
圓（x+3）²+y²=1的圓心與半徑分別為：F₁（-3，0），r₁=1；
圓（x-3）²+y²=4的圓心與半徑分別為：F₂（3，0），r₂=2．
∵|PM|+r₁≥|PF₁|，|PN|+r₂≥|PF₂|．
∴|PM|+|PN|≥|PF₁|+|PF₂|-1-2=7．
故答案為：7．

點評 本題考查橢圓的定義，考查橢圓及圓的標準方程的應用，考查計算能力，屬于基礎題．