Question

20．四面體ABCD及其三視圖如圖1，2所示．

（1）求四面體ABCD的體積；
（2）若點E為棱BC的中點，求異面直線DE和AB所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據直角三角形性質，得：BD⊥DC，AD⊥DC，由此能示出四面體ABCD的體積．
（2）取AC中點F，連DF，EF，則∠DEF為AB與DE所成角或補角．由此能示出異面直線DE和AB所成角的余弦值．

解答 解：（1）根據直角三角形性質，得：BD⊥DC，AD⊥DC，
∴l₁=AD=1，${S_{BDC}}=2×2×\frac{1}{2}=2$，
∴四面體ABCD的體積$V=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1=\frac{2}{3}$．
（2）取AC中點F，連DF，EF，則∠DEF為AB與DE所成角或補角．
$PE=\frac{1}{2}AB=\frac{{\sqrt{5}}}{2}，DE=\frac{2S}{PC}=\frac{4}{{2\sqrt{2}}}=\sqrt{2}，DP=\frac{1}{2}AC=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
∴$cosθ=\frac{{\frac{5}{4}+2-\frac{5}{4}}}{{\sqrt{10}}}=\frac{2}{{\sqrt{10}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．
所以異面直線DE和AB所成角的余弦值$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

點評 本題考查四棱錐的體積的求法，考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．