Question

19．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱AA₁⊥平面AB₁C₁，AA₁=1，底面△ABC是邊長為2的正三角形，則三棱錐A-A₁B₁C₁的體積為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 連接B1C，則${V}_{A-B{B}_{1}C}={V}_{A-{B}_{1}{C}_{1}C}$，又${V}_{A-B{B}_{1}C}={V}_{{B}_{1}-ABC}$=${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，${V}_{ABC}-{V}_{{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=3${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，由此能求出三棱錐A-A₁B₁C₁的體積．

解答 解：連接B1C，則${V}_{A-B{B}_{1}C}={V}_{A-{B}_{1}{C}_{1}C}$，
又${V}_{A-B{B}_{1}C}={V}_{{B}_{1}-ABC}$=${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，
∴${V}_{ABC}-{V}_{{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=3${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，
∵AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，
底面△ABC是邊長為2的正三角形，∴三棱錐A-A₁B₁C₁的體積為：
${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=3×$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-1}×1$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．